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__NÚMERO AÚREO o NÚMERO DE ORO:__

** 2. EL NÚMERO AÚREO EN LAS MATEMÁTICAS: **

//** 2.1Propiedades y representaciones toc **//
= = Ángulo de oro Propiedades algebraicas Φ es el único número real positivo Φ posee además las siguientes propiedades Cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de Φ, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de Φ corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.

La expresión mediante fracciones continuas
 * El número áureo \frac{\sqrt{5} + 1}{2} es la unidad fundamental «ε» del cuerpo \mathbb{R}\left(\sqrt{5}\right) y la sección áurea \frac{\sqrt{5} - 1}{2} es su inversa, «\varepsilon^{-1}». En esta extensión el «emblemático» número irracional \sqrt{2} cumple las siguientes igualdades:

El número áureo \frac{\sqrt{5} + 1}{2} y la sección áurea \frac{\sqrt{5} - 1}{2} son soluciones de las siguientes ecuaciones:

\ x^2 - \sqrt{5}\, x + 1 = 0

\ x^3 - y^3 - 4 = 0

\ x^4 - 3 x^2 + 1 = 0 = (x^2 - x - 1) (x^2 + x - 1)

Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama. En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el número de la Bestia

A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores.

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco. Relaciones entre las partes del pentágono.Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.Relaciones entre las partes del decágono.Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro. El rectángulo áureo de Euclides Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo. El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su construcción.> El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea. El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos. Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema un cuadrilátero es formado al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b2 = a2 + ab,.

El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2, pueden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1) Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1, también se pueden dar en términos similares: (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ) Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.  Realizado por : Laura Valiente Gonzalez.